deret dan Transformasi Fourier ( part I )

kemarin lagi dapet tugas untuk membuat resume tentang transformasi dan deret fourier,.
untuk lebih jelasnya contact emailnya aja ya^
thx

RESUME DERET FOURIER DAN
TRANSFORMASI FOURIER
Indra Adi Putra
indraadiputra@ymail.com , http://indraadiputra.co.cc
Tingkat II Teknik Rancang Bangun Peralatan Sandi
Sekolah Tinggi Sandi Negara

Integral Fourier
Integral Fourier adalah generalisasi dari deret Fourier. Representasi deret :



Misalkan ada syarat yang berlaku untuk f(x):
1.f(x) memenuhi syarat Dirichlet dalam setiap selang berhingga (-L,L)
2. konvergen, yaitu f(x) terintegralkan mutlak pada


Maka teorema integral Fourier menyatakan bahwa
(1)

Dimana (2)

Hasil (1) berlaku jika x adalah sebuah titik kekontinuan f(x), jika f(x) sebuah titik ke-tk kontinuan, kita mesti mengganti f(x) dengan seperti dalam kasus deret fourier. Dan ini merupakan syarat cukup dan bukan syarat perlu.
Kemiripan untuk persamaan (1) dan (2) dikaitkan dengan hasil untuk deret fourier terlihat dengan jelas ruas kanan (1) seringkali dinamakan uraian integral fourier untuk f(x).


Bentuk-bentuk ekivalen untuk Teorema Integral Fourier
Integral Fourier juga dapat ditulis sebagai:
(3)

(4)

Dimana jika f(x) tidak kontinu di x, ruas kirinya harus diganti dengan .
Hasil ini dapat disederhanakan untuk f(x)fungsi ganjil atau genap maka kita peroleh

(5)
(6)

Transformasi tersebut diringkas dari bentuk integral Fourier dari sebuah fungsi :




Transformasi Fourier
Dari(4) diperoleh bahwa jika

(7)
Maka
(8)

Fungsi dinamakan Transformasi Fourier dari f(x) dan kadang-kadang ditulis{(f(x))}. Dan fungsi f(x) adalah Invers Transformasi Fourier dari dan ditulis .
Jika f(x) adalh suatu fungsi genap, persamaan (5) menghasilkan :

(9)
Dan kita menyebut Fc(α) dan f(x) sebagai transformasi cosinus Fourier antara satu dengan yang lainnya jika suatu fungsi f(x) ganjil persamaan (5) menghasilkan
(10)
Dan kita menamakan masing-masing sebagai Transformasi Fourier Sinus dari yang lainnya.

Persamaan Parseval untuk integral fourier
Jika ( berturut turut adalah transformasi fourier sinus dari F(x) dan G(x), maka:
(() d = (() d (11)
Jika F(α) dan G(α) masing- masing secara khusus adalah transformasi Fourier f dan g didefinisikan sebagai
(12)
maka
(13)

Sekarang samakan representasi dari f*g yang dinyatakan dalam persamaan diatas yaitu:

(14)
Dan misalkan parameter x sebagai 0 maka,
(15)
Sekarang misalnya g= dan maka G= , dimana garis melambangkan fungsi konjugat kompleks, selanjutnya persaman (15) mengambil bentuk


Ini merupakan teorema Parseval untuk integral Fourier

Lebih lanjut jika f dan g adalah fungsi- fungsi genap, maka dapat diperlihatkan bahwa persamaan (15) tereduksi menjadi identitas Parseval berikut ini;

Dimana Fcdan ­Gc adalah tranformasi cosines dari f dan g adalah fungsi ganjil maka persamaan (15) mengambil bentuk ;

Dimana Fs dan ­Gs adalah tranformasi cosinus dari f dan g

FUNGSI PERIODIK

Sebuah fungsi f (x) dikatakan memiliki periode T atau menjadi periodik dengan periode T jika untuk semua x, f (x + T)=f (x), dimana T adalah positif konstan. Sedikit nilai T> 0 disebut periode yang paling rendah atau periode f (x) terendah.

Contoh 1 : fungsi sin x memiliki periode 2 π, 4 π ,6 π,...; karena sin (x+2π), sin (x+4π), sin (x+6π),…dst,
Semua nilainya sama dengan sin x. Akan tetapi 2π adalah periode terkecil atau disingkat periode dari sin x.

Contoh 2 : Periode dari sin nx atau cos nx , dimana n adalah bilangan bulat positif, adalah 2π/n.

Contoh 3 : Periode dari tan x adalah π.

Contoh 4 : Sebuah konstanta yang memiliki sembarang bilangan positif periode.



Contoh lain :




DERET FOURIER

f(x) di definisikan dalam interval ( -L; L ) dan di luar interval dengan dimana f(x) periodic -2L melalui jalur inilah fungsi baru sebuah himpunan bilangan real tak terhingga dibuat dari gambar (-L,L) Deret Fourier atau ekspansi Fourier berkorespondensi dengan f(x) dan dapat di tuliskan :


(1)
Ketika koefisien Fourier an dan bn




(2)


KONDISI ORTOGONAL UNTUK FUNGSI SINUS DAN COSINUS

Perhatikan bahwa koefisien Fourier adalah sebuah integral. Ini diperoleh dengan memulai deret ,(I),dan memanfaatkan sifat-sifat berikut yang disebut syarat ortogonalitas (kondisi ortogonalitas):



dimana m dan n di asumsikan semua nilai bilangan bulat positif.

Contoh 1 : Untuk menentukan koefisien a0, integralkan kedua ruas deret Fourier (I), sedemikian sehingga;




Contoh 2 : Untuk menentukan nilai dari a1 , kalikan kedua ruas dari (I) dengan cos dan kemuadian integralkan, menggunakan kondisi orthogonal (3)a dan (3)c maka kita memperoleh


KONDISI DIRICHLET ( SYARAT DIRICHLET)

Kita dapat memisalkan :
1)f(x) didefinisikan dan bernilai tunggal, kecuali mungkin sejumlah tertentu titik dalam (-L,L),
2)f(x) periodic di luar (-L,L), dengan periode 2L,
3)f(x) dan f’(x) adalah kontinyu bagian demi bagian dalam (-L,L),
kemudian deret (I) dengan koefisien Fourier konvergen pada
a)f(x), jika x adalah sebuah titik kekontinyuan,
b) , jika x adalah titik ketidak kontinyuan.


FUNGSI GENAP DAN GANJIL

Sebuah fungsi f(x) dikatan sebagai fungsi ganjil jika: sebagai contoh:


Sebuah fungsi f(x) dikatan sebagai fungsi genap jika: sebagai contoh:


DERET SINUS ATAU COSINUS FOURIER JANGKAUAN SETENGAH
Deret sinus atau cosinus fourier jangkauan setengah adalah sebuah deret dimana hanya ada bentuk sinus atau cosinus saja. Pada deret ini interval yang digunakan adalah (0,L),atau (-L,0) sehingga disebut jangkauan setengah.Dpat dituliskan sebagai berikut :





PARSEVAL’S IDENTITY
Jika an dan bn adalah koefisien Fourier yang berkorespondensi pada f(x) dan f(x) memenuhi syarat dirichlet maka;



TURUNAN DAN INTEGRAL DARI DERET FOURIER

Theorema. Fourier series yang berkorespondensi pada f(x), dapat di integralkan suku demi suku dengan batas

integral dari a sampai x, dan hasilnya deret akan di ubah bentuk menjadi dengan

syarat f(x) kontinyu bagian demi bagian dalam dan a serta x berada pada interval ini.

NOTASI KOMPLEKS UNTUK DERET FOURIER
Dengan menggunakan identitas Euler,

Dimana i = , maka deret Fourier untuk f(x) dapat ditulis sebagai
dimana

Dalam menulis persamaan diatas kita memisalkan Dirichlet terpenuhi dan lebih lanjut bahwa f(x) kontinyu pada x, maka ruas kiri persamaan (7) harus digantikan dengan


Dikutip dari : SCHAUM’S OUTLINES ADVANCE CALCULUS