CHAPTER 9 Of DSP

IX. Application of The DFT

Discrete fourier Transform (DFT) merupakan salah satu perangkat yang terpenting dalam Digital Signal Processing. Bagian ini akan mendiskusikan dan menjelaskan 3 alasan mengapa DFT digunakan. Pertama, DFT dapat menghitung sinyal sinyal dari spektrum frekuensi. DFT akan memberikan hasil langsung untuk mengenkoding suatu data dan informasi dalam suatu frekuensi, fase, dan amplitude dari suatu komponen sinusoidal. Kedua, DFT dapat menemukan suatu system respons frekuensi dari suatu respons impulse dan system yang buruk (tidak baik).
Ketiga DFT bisa digunakan sebagai penengah dalam suatu elaborasi suatu teknik pemrosesan sinyal. Salah satu contohnya adalah FFT convolution, algoritma untuk menyulitkan suatu sinyal menjadi lebih cepat ratusan kali daripada metode yang biasanya.

A. Spectral Analysis of Signal
Hal ini sudah biasa untuk suatu informasi yang di encoding dalam suatu sinusoidal dari suatu sinyal. Ini dapan menjadikan suaberesolusi tinggitu sinyal bergerak natural. Meskipun demikian hal ini dapat dibuat atau dipengaruhi oleh manusia. Banyak hal yang yang untuk menghindari dari seluruh bidang yang ada.
Ini dapat dilakukan dengan merusak sinyal input ke dalam berbagai segmen titik 256. Setiap segmen dikalikan dengan window Hamming, jalankan melalui titik 256 DFT, dan dikonversikan ke notasi polar. Spektra frekuensi yang dihasilkan adalah kemudian dirata-ratakan untuk membentuk satu titik spektrum frekuensi 129.
Peningkataan jelas; kebisingan telah dikurangi sampai pada tingkat yang
memungkinkan fitur menarik dari sinyal yang akan diamati. Hanya besarnya frekuensi domain adalah rata-rata dengan cara ini; fasa biasanya dibuang karena tidak mengandung informasi yang bermanfaat. Itu mengurangi gangguan acak sebanding dengan akar kuadrat dari jumlah
segmen. Sementara 100 segmen khas, beberapa aplikasi mungkin rata-rata jutaan segmen untuk mengeluarkan fitur lemah.
Ada juga metode kedua spektrum untuk mengurangi kebisingan. Mulailah dengan mengambil DFT sangat panjang, katakanlah 16.384 poin. Spektrum frekuensi yang dihasilkan (8.193 sampel) dan sangat berisik. Low-pass filter digital kemudian digunakan untuk memperlancar spektrum, mengurangi kebisingan dan mengorbankan resolusi. Misalnya, paling sederhana filter digital mungkin rata-rata 64 sampel dalam spektrum asli untuk menghasilkan sampel di masing-masing filterspektrum. Selanjutnya akan melalui perhitungan, ini memberikan suara yang sama dan resolusi sebagai metode pertama, di mana 16.384 poin akan di perkecil ke dalam 64 segmen dari 256 poin masing-masing.
Metode mana yang bisa anda gunakan? Metode pertama lebih mudah, karena
filter digital tidak diperlukan. Metode kedua memiliki potensi yang lebih baik kinerja, karena filter digital dapat disesuaikan untuk mengoptimalkan tradeoff antara kebisingan dan resolusi. Namun, peningkatan kinerja ini jarang sepadan dengan masalah. Hal ini karena kedua kebisingan dan resolusi dapat ditingkatkan dengan menggunakan lebih banyak data dari sinyal input.


Ini hasil dari kebisingan pada waktu pendaftaran domain gelombang yang tidak berkorelasi darisampel-ke-sampel. Yaitu, mengetahui nilai kebisingan hadir pada satu sampel tidak memberikan informasi mengenai nilai kebisingan hadir pada sampel lainnya. Untuk contoh, pergerakan acak elektron dalam sirkuit elektronik menghasilkan putih bising. Sebagai contoh yang lebih akrab, suara semprotan air memukul lantai shower white noise. Kebisingan putih ditunjukkan pada Gambar. Bisa 9-2 berasal dari salah satu dari beberapa sumber, termasuk analog elektronik, atau laut itu sendiri.
Sekarang kita sampai pada puncak fase pada Gambar. 9-2. Termudah untuk menjelaskan adalah 60 hertz, akibat dari gangguan elektromagnetik dari listrik komersial. Juga berharap untuk melihat lebih kecil kelipatan puncak pada frekuensi ini (120, 180, 240 hertz, dll) karena listrik bukanlah gelombang sinusoid sempurna.
Hal serupa juga terjadi untuk menemukan mencampuri puncak antara 25-40 kHz, favorit untuk perancang catu daya switching. Dekatnya stasiun radio dan televise menghasilkan puncak campur dalam kisaran megahertz. Puncak frekuensi rendah dapat disebabkan oleh komponen dalam sistem bergetar ketika terguncang. Ini disebut microphonics, dan biasanya menciptakan puncak pada 10-100 hertz. Sekarang kita sampai pada sinyal yang sebenarnya. Ada puncak kuat pada 13 hertz, dengan lemah puncak pada 26 dan 39 hertz. Seperti telah dibahas dalam bab selanjutnya, ini adalah spektrum frekuensi dari gelombang periodik nonsinusoidal. Puncak pada 13 hertz disebut frekuensi dasar, sementara puncak pada 26 dan 39 hertz.

Gambar diatas merupakan Contoh spektrum frekuensi. Tiga jenis fitur-fitur muncul dalam spektru yang diperoleh sinyal: (1) gangguan acak, seperti white noise dan 1 / f noise, (2) mengganggu sinyal dari kekuasaan baris, switching power supplies, radio dan TV stasiun, microphonics, dll, dan (3) sinyal nyata, biasanya muncul sebagai dasar ditambah harmonik. Contoh ini spektrum (besar hanya) menunjukkan beberapa fitur tersebut.

Spektrum frekuensi resolusi. Semakin panjang DFT, semakin baik kemampuan untuk memisahkan fitur berdekatan. Di contoh-contoh besaran, titik 128 DFT tidak dapat menyelesaikan dua puncak, sementara titik 512 DFT bisa.
Kita perlu mengubah domain waktu sinyal untuk mengizinkannya untuk diwakili dalam komputer: pilih N poin dari sinyal. N ini poin harus mengandung semua titik nol diidentifikasi oleh jendela, tapi mungkin juga menyertakan nomor nol. Ini mempunyai efek sampling dari frekuensi kurva spektrum yang kontinu. Sebagai contoh, jika N adalah dipilih menjadi 1024, spektrum yang kontinu akan membentuk kurva sampel 513 kali antara 0 dan 0,5.
Jika N adalah dipilih untuk menjadi jauh lebih besar daripada range panjang, sampel dalam domain frekuensi akan cukup dekat sehingga puncak dan lembah dari kurva kontinu akan dipertahankan dalam spektrum baru. Jika N adalah membuat sama range panjang, semakin sedikit jumlah sampel dalam hasil spektrum dalam pola teratur puncak dan lembah tidak teratur berubah menjadi ekor, tergantung di mana sampel terjadi jatuh. Hal ini menjelaskan mengapa dua puncak pada Gambar. 9.4a tidak mirip.
Setiap puncaknya pada Gambar 9-4a adalah contoh dari kurva yang mendasari pada Gambar. 9-5a. Kehadiran atau ketiadaan ekor tergantung pada tempat sampel yang diambil dalam kaitannya dengan puncak dan lembah. Jika sama persis dengan gelombang sinus dengan fungsi dasar, sampel terjadi tepat di lembah-lembah, menghilangkan ekor. Jika gelombang sinus adalah antara dua fungsi dasar, sampel terjadi di suatu tempat sepanjang puncak dan lembah, mengakibatkan berbagai pola ekor

Rinci dari puncak spektral menggunakan berbagai jendela. Setiap puncak di spektrum frekuensi merupakan pusat lobus dikelilingi oleh ekor terbentuk dari sisi lobus. Dengan mengubah bentuk jendela, amplitudo lobus samping dapat dikurangi dengan mengorbankan membuat lobus utama yang lebih luas. Jendela persegi panjang, (a), memiliki lobus utama tapi sempit amplitudo terbesar lobus samping. The Hamming jendela, (b), dan jendela Blackman, (c), memiliki sisi amplitudo lebih rendah lobus dengan mengorbankan lobus utama yang lebih luas. Flat-jendela atas, (d), digunakan ketika amplitudo puncak harus akurat diukur. Kurva ini adalah untuk titik 255 jendela; lagi secara proporsional sempit jendela menghasilkan puncak.


B. FREQUENCY RESPONSE of SYSTEMS
Sistem dianalisis dalam domain waktu dengan menggunakan lilitan. Serupa analisis dapat dilakukan dalam frekuensi domain. Menggunakan Transformasi Fourier, setiap masukan sinyal dapat digambarkan sebagai kelompok gelombang kosinus, masing-masing dengan amplitudo dan fasa tertentu bergeser. Demikian pula, DFT dapat digunakan untuk mewakili setiap sinyal keluaran dalam bentuk serupa.
Ini berarti bahwa setiap linear sepenuhnya sistem dapat digambarkan dengan cara mengubah amplitudo dan fase dari gelombang kosinus melewatinya. Informasi ini disebut sistem respons frekuensi. Karena kedua respon impulse dan frekuensi Tanggapan berisi informasi lengkap tentang sistem, harus ada korespondensi satu satu antara keduanya. Diberikan satu, Anda dapat menghitung lain. Hubungan antara impuls respons dan frekuensi tanggapan adalah salah satu dasar-dasar pemrosesan sinyal: Sebuah sistem frekuensi Tanggapan adalah Fourier Transform dari respon impuls.
Berapa banyak resolusi yang dapat Anda peroleh di respon frekuensi? Jawaban adalah: jauh tinggi, jika Anda bersedia untuk pad respon impuls dengan jumlah angka nol yang tak terhingga. Dengan kata lain, tidak ada yang membatasi kecuali resolusi frekuensi panjang DFT. Hal ini menyebabkan komsep sangat penting. Meskipun respons impuls adalah sinyal diskrit, yang respon frekuensi sesuai kontinu. Titik N DFT dari memberikan respon impulse N / 2% 1 contoh dari kurva kontinu ini. Jika Anda membuat DFT lebih lama, resolusi membaik, dan Anda mendapatkan ide yang lebih baik


Menemukan respon frekuensi dari respon impulse. Dengan menggunakan DFT, suatu sistem respon impulse, (a), dapat diubah menjadi sistem respons frekuensi, (b). Dengan padding respon impulse dengan nol (c), resolusi yang lebih tinggi dapat diperoleh dalam respons frekuensi, (d). Hanya besarnya frekuensi Tanggapan ditampilkan dalam contoh ini, pembahasan tentang fase ditunda sampai bab berikutnya.

Apa yang tampak seperti kurva kontinu. Ingat apa respons frekuensi mewakili: amplitudo dan perubahan fasa yang dialami oleh ombak yang kosinus melewati sistem. Karena sinyal input dapat berisi frekuensi antara 0 dan 0,5, sistem harus respons frekuensi kurva kontinu selama rentang ini.
Ini dapat lebih dipahami dengan membawa anggota lain Fourier mengubah keluarga, Diskrit Sisa Fourier Transform (DTFT). Pertimbangkan sinyal sampel N yang dijalankan melalui titik N DFT, menghasilkan N / 2% 1 sampel frekuensi domain. Ingat dari bab terakhir bahwa mempertimbangkan yang DFT domain waktu sinyal untuk menjadi jauh panjang dan berkala.
Artinya, titik N berulang-ulang dari negatif ke positif infinity. Sekarang perhatikan apa yang terjadi ketika kita mulai pada domain waktu sinyal yang semakin meningkat dengan jumlah angka nol, untuk mendapatkan lebih halus dan lebih halus sampling dalam frekuensi domain. Menambahkan angka nol membuat periode waktu domain lagi, sementara secara bersamaan membuat frekuensi domain sampel lebih dekat bersama-sama. sekarang kita akan mengambil yang ekstrim ini, dengan menambahkan jumlah angka nol yang tak terhingga untuk domain waktu sinyal. Ini menghasilkan situasi yang berbeda dalam dua hal. Pertama, waktu pendaftaran domain sinyal sekarang memiliki periode panjang tanpa batas.
Dengan kata lain, itu telah berubah menjadi sinyal aperiodic. Kedua, frekuensi domain telah mencapai jarak yang sangat kecil antara sampel. Artinya, ia memiliki menjadi sinyal kontinu. Ini adalah DTFT, prosedur bahwa perubahan yang periodic diskrit sinyal dalam domain waktu ke domain frekuensi yang merupakan kurva kontinu.
Dalam istilah matematika, sebuah sistem respons frekuensi ditemukan dengan mengambil DTFT dari respon impuls. Karena hal ini tidak dapat dilakukan dalam komputer, DFT digunakan untuk menghitung sampling frekuensi yang benar respons. Ini adalah perbedaan antara apa yang Anda lakukan di komputer (yang DFT) dan apa yang Anda lakukan dengan persamaan matematika (yang DTFT).
Alasan kedua untuk menghindari belitan adalah kecepatan perhitungan. Untuk
Misalnya, Anda merancang filter digital dengan kernel (impuls respon) berisi 512 sampel. 200 MHz menggunakan komputer pribadi dengan floating nomor titik, masing-masing sampel dalam sinyal output membutuhkan sekitar satu milidetik untuk menghitung, menggunakan standar algoritma konvolusi.
Dengan kata lain, throughput sistem hanya sekitar 1.000 sampel per detik. Ini adalah 40 kali terlalu lambat untuk high-fidelity audio, dan 10.000 kali terlalu lambat untuk televisi video berkualitas! Konvolusi standar algoritma adalah lambat karena jumlah besar perkalian dan penambahan yang harus dihitung. Sayangnya, hanya membawa masalah ke domain frekuensi melalui DFT tidak membantu sama sekali.
Sama seperti banyak perhitungan yang diperlukan untuk menghitung DFTs, seperti yang diperlukan untuk langsung menghitung konvolusi. Sebuah terobosan yang dibuat dalam masalah pada awal tahun 1960-an ketika Fast Fourier Transform (FFT) telah dikembangkan.

Untuk memulai, kita perlu menentukan cara untuk menggandakan satu domainfrekuensi sinyal oleh lain, yaitu, apa artinya menulis: X [f] × H [f] 'Y [f]. Dalam bentuk polar, yang besarnya dikalikan: MagY [f] 'MagX [f] × MagH [f], dan tahap ditambahkan: PhaseY [f] 'PhaseX [f]% PhaseH [f]. Untuk memahami hal ini, bayangkan sebuah gelombang kosinus memasuki sistem dengan beberapa amplitudo dan fase.
Demikian pula, sinyal keluaran juga merupakan gelombang kosinus dengan amplitudo dan fase. Kutub bentuk respons frekuensi secara langsung menggambarkan bagaimana kedua amplitudo adalah terkait dan bagaimana kedua tahap saling berhubungan. Ketika domain frekuensi perkalian dilakukan dalam bentuk persegi panjang sana istilah lintas antara bagian real dan imajiner. Sebagai contoh, sinus gelombang memasuki sistem dapat menghasilkan baik gelombang kosinus dan sinus pada output.