CHAPTER VI of DSP

CHAPTER VI

Convolution

Fungsi Delta dan Impuls response
fungsi delta, dilambangkan dengan huruf Yunani Delta, Fungsi delta adalah sebuah normalized impulse, yaitu angka nol sampel memiliki nilai satu, sementara semua sample yang lain bernilai nol. karena alasan ini fungsi delta sering disebut dengan unit impuls
Impuls response adalah sinyal yang keluar dari sebuah sistem ketika sebuah fungsi delta merupakan inputannya




Convolution
Convolution adalah cara matematis menggabungkan dua sinyal untuk membentuk sinyal ketiga. Convolution adalah teknik paling penting dalam Digital Signal Processing. Menggunakan strategi impuls dekomposisi, sistem digambarkan oleh suatu sinyal yang disebut respon impuls. Convolution sangatah penting karena menyangkut tiga kepentingan sinyal: sinyal input, sinyal keluaran, dan respon impulse. Bab ini menyajikan Convolution dari dua sudut pandang yang berbeda, yang disebut algoritma sisi input dan sisi output algoritma.
Convolution adalah sebuah operasi matematika umum, hanya menggunakan fungsi perkalian,penambahan,dan pengintegralan. Penambahan mengambil dua bilangan dan menghasilkan tiga bilangan, ketika convolution mengambil dua sinyal dan memproduksi tiga buah sinyal. Convultion digunakan dalam banyak bidang dimatematika, seperti probabilitas dan statistik. Dalam sistem linear, convultion digunakan untuk mendeskripsikan hubungan antara tiga sinyal diantaranya: sinyal input, impulse response dan sinyal output





convolution digunakan dalam DSP, sinyal dari sitem linear sama dengan sinyal input convolved dengan impulse sistem response, convultion dinotasikan dengan tanda bintang pada penulisan persamaan.



Convultion digunakan untuk lowpass filter dan highpass filter, dalam contoh diatas tiga buah gelombang sinusoidal (merepr,esentasikan sebuah frekuensi yang tinggi), ditambah dengan satu demi satu gelombang naik secara perlahan (terdiri dari gelombang frekuensi rendah). Dalam (a), respon impulse untuk low-pass filter adalah lengkungan halus, sehingga perubahan bentuk gelombang yang diteruskan ke output hanya terlihat sedikit. Demikian pula,high-pass filter, (b),hanya memungkinkan lebih sinusoid yang berubah dengan cepat berlalu.
Contoh sinyal diproses menggunakan Convolution. Banyak tugas-tugas pemrosesan sinyal menggunakan ssimple impulse response. Seperti ditunjukkan dalam contoh ini, perubahan dramatis dapat dicapai dengan hanya beberapa nol titik.

The input Side Algorithm
Gambar 6-5. Contoh covolved problem. Sebuah titik dengan sembilan masukan sinyal, convolved dengan tempat titik respon impulse, hasil di titik sinyal keluaran ke dua belas.



Gambar 6-6. Sinyal keluaran komponen untuk convultion pada Gambar. 6-5. Dalam sinyal-sinyal ini, setiap titik yang dihasilkan dari sebuah skala dan respon impulse bergeser diwakili oleh tanda persegi. Titik data yang tersisa, yang diwakili oleh simbolo berlian, adalah nol yang telah ditambahkan sebagai place holder.



Kedua dari covolved problem. Bentuk sinyal dari sinyal masukan dan respon impulse berubah dari contoh sebelumnya, karena convolution bersifat komutatif maka output dari kedua contoh ini sangat identik.
Pada kedua contoh diatas sifat komutatif adalah sifat yang ada pada convolution dimana dalam matematika tidak berpengaruh yang mana sinyal input dan yang mana respon impulse, yang dilihat hanya “dua sinyal tersebut berkonvulsi satu sama lain”. Walaupun begitu, pertukaran dua sinyal tersebut secara fisik tidak berarti apa-apa pada teori sistem.
Sinyal masukan dan respon impulse keduanya sangatlah berbeda, melakukan pertukaran pada kedua sinyal sama sekali tidak membuat perbedaan. Sifat komutatif inilah yang berguna sebagai tools matematis untuk memanipulasi persamaan untuk mendapatkan hasil yang beragam.
The Output Side Algorithm
Sudut pandang pertama dari analisis convultion adalah bagaimana setiap sample pada sinyal masukan mempengaruhi sinyal outputnya, yang kedua untuk kebalikannya kita melihat sample satuan pada sinyal output, dan menemukan kontribusi dari inputnya. Hal ini sangat penting secara matematika dan dalam prakteknya. Midsalkan kita diberikan beberapa sinyal input dan respon impulse dan kita ingin menemukan convolution dari keduanya. Metode yang digunakan adalah untuk melakukan loop terhadap seluruh sinyal output. Yang dalam persamaan dapat ditulis . Maka, sejumlah n sample sinyal output sama dengan combinasi dari beberapa nilai sinyal input dan respon impulse. Hal ini memerlukan informasi bagaimana setiap sample sinyal output dapat dihitung secara terpisah dari semua sample yang lain yang ada pada sinyal output tersebut. Maka Algoritma Output side inilah yang diperlukan.
Pada gambar dibawah ini dilustrasikan Algoritma Output side sebagia sebuah “convolution mechine”, diagram tersebut menunjukan bagaimana convulsi didapatkan. Misalkan sinyal input: dan sinyal outputnya: . Pada convolution mechine, semua yang terdapat pada kotak bergaris, dapat secara bebas bergerak ke kiri atau ke kanan sesuai yang diperlukan, saat convolution mesin ini diposisikan maka outputnya disejajarkan kemudian sample dapat dihitung. 4 sample dari sinyal input diturunkan dari convolution mechine. Nilai ini dilipatkan dengan sample pada respon impulse, kemudian hasilnya ditambahkan. Hal ini menghasilkan nilai dari sinyal outputnya, misalkan ditunjukan dapat dihitung dari 4 sample input yaitu dan .

Gambar: Mesin konvulsi. Diagram alir ini menunjukan bagaimana setiap sample pada sinyal output dipengaruhi oleh sinyal input dan respon impulse
Penyusunan respon impulse dalam mesin convolution sangat penting. Pada respon impulse dilakukan flipped ke kiri-kanan. lalu menempatkan sampel dengan angka nol di sebelah kanan, dan semakin ke kiri nomor sampel semakin. Respon impulse menggambarkan bagaimana setiap titik dalam sinyal input mempengaruhi output sinyal. Hal ini mengakibatkan setiap titik di sinyal keluaran karena dipengaruhi oleh titik-titik dalam sinyal input terbobot oleh membalik impuls respons.



gambar: ditunjukan convolution machine menghitung 4 sample sinyal output yang berbeda : dan
Gambar diatas menunjukkan mesin convolution digunakan untuk menghitung beberapa sampel sinyal output. Diagram ini juga menggambarkan gangguan pada convolution. Pada (a), mesin convolution terletak sepenuhnya ke kiri dengan output ditujukan pada y [0]. Dalam posisi ini, itu maka masukan yang diterima adalah dari sample: x [& 3], x [& 2], x [& 1], dan x [0]. Masalahnya adalah ketiga sample ini tidak ada! Masalah yang sama muncul di (d), dimana mesin yang mencoba untuk menerima sampel di sebelah kanan input sinyal yang telah ditetapkan , titik x [9], x [10], dan x [11].
Salah satu cara untuk menangani masalah ini adalah dengan inventing yang tidak ada sampel. Yaitu dengan menambahkan sample di akhir dari sinyal input, dengan masing-masing ditambahkan dengan sampel bernilai nol. Inilah yang disebut padding sinyal dengan nol.
Dengan menggunakan convolution machine sebagai panduan, dalam persamaan matematika kita dapat menulis persamaan standar untuk convolution. Jika adalah sinyal titik N berpindah dari 0 ke , dan adalah sebuah sinyal pada titik M yang berpindah dari 0 sampai convolution dari keduanya: adalah sebuah titik sinyal brpindah dari 0 sampai , dengan persamaan:

Persamaan ini disebut convolution sum. Hal ini memungkinkan setiap titik pada sinyal output dapat dihitung secara terpisah dari semua titik lainnya dalam sinyal output.

Gambar: efek akhir di convolution. convolution pada sebuah input dengan titik M respon impulse, titik pertama dan titik terakhir M-1 dalam sinyal output tidak digunakan. Dalam contoh inirespon impulse digunakan saebagai high-pass filter untuk menghilangkan komponen DC dari sinyal input.
The Sum of Weighted Input
Karakteristik sistem linear sepenuhnya dijelaskan oleh respons impulse. Ini adalah dasar dari sisi input algoritma: setiap titik di sinyal input berperan pada besar dan arah pregeseran respon impulse ke sinyal output. Konsekuensi matematika ini mengarah pada sisi output algoritma: setiap titik dalam sinyal keluaran menerima pengaruh dari beberapa titik sinyal input, dikalikan dengan flip respon impulse.
Jika kita lihat lagi convolution machine, dan mengabaikan bahwa sinyal di dalam kotak bertitik adalah respon impuls. Kemudian Menganggapnya sebagai satu set weighting coefisient yang terjadi harus terdapat dalam diagram alir. Dalam pandangan ini, setiap sampel dalam sinyal output dapat dikatakan sama dengan sebuah sum of weighting input (penjumlahan dari weighting inputnya). sampel dalam output dipengaruhi oleh daerah sampel di sinyal input, sebagaimana ditentukan oleh yang dipilih weighting coeficient. Sebagai contoh, bayangkan ada sepuluh weighting coeficient, masing-masing dengan nilai satu. Hal ini membuat setiap sampel dalam sinyal output merupakan rata-rata dari sepuluh sampel input tersebut
Berdasarkan hal yang telah dibahas, weighting coeficient tidak perlu terbatas pada sisi kiri perhitungan sample output. Dengan convolution machine yang merupakan pejumlahan dari weighted input, weighting coefficient dapat dipilih secara simetris disekitar sampel output.